Sistema de ecuaciones 2x2 por el metodo de sustitucion

SISTEMA DE ECUACIONES 2X2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver lo que es un sistema de ecuaciones 2x2, el cual se refiere a 2 ecuaciones con 2 diferentes incógnita, existe uno de los métodos que tiene que ver con la sustitución de incógnitas

Una sustitución se refiere cuando se trata de evaluar una incógnita, ya sea como:

Si tenemos

6x + 5

y tenemos que:

x = y + 7

Entonces, el resultado seria:

6(y+7) + 5

6y + 42 + 5

6y + 47

Esto puede aplicarse incluso en una ecuación tal como se vera adelante:

Ahora supongamos que tenemos estas siguientes ecuaciones:

3x - 2y = 4

2x + 5y = 47

Entonces, que significa esto, que las incógnitas "x" y "y" teniendo un mismo valor y evaluándolas coinciden con el resultado que se da alli

¿Pero como sacamos esos valores?

Okey, tenemos que despejar a "x" o "y", es decir determina lo que vale cualquiera de las dos incógnitas en base a la otra incógnita.

Supongamos que queremos despejar "x" a partir de la segunda ecuación, entonces despejamos a "x" a partir de allí:

Se agarra la ecuación correspondiente

2x + 5y = 47

Se resta 5y en ambos miembros

2x = 47 - 5y

Se divide entre 2 en ambos miembros

x = 23.5 - 2.5y

Entonces tenemos que "x" es equivalente a "23.5 - 2.5y"

Ahora sustituiremos "x" por "23.5 - 2.5y", y se hace de la siguiente manera, en ese caso sera sustituida en la otra ecuación (En la primera):

Entonces, tenemos la otra ecuación:

3x - 2y = 4

Sustituyendo nos queda:

3(23.5 - 2.5y) - 2y = 4

Haciendo el procedimiento:

70.5 - 7.5y - 2y = 4

70.5 - 9.5y = 4

-9.5y = -66.5

y = 7

Ya tenemos el valor de una incógnita, entonces evaluamos y = 7, en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso queremos evaluarla en la primera ecuación:

Entonces:

3x - 2y = 4

Y evaluando y = 7

Entonces nos queda como:

3x - 2(7) = 4

3x - 14 = 4

3x = 18

x = 6

Entonces ya resolvimos el problema:

Tenemos los valores correspondientes:

x = 6, y = 7

Evaluando ambas ecuaciones tenemos que:

3x - 2y = 4

2x + 5y = 47

3(6) - 2(7) = 18 - 14 = 4

2(6) + 5(7) = 12 + 35 = 47

... Tenemos que si se cumple la igualdad !

Esto es lo que se hace para resolver un problema de ecuaciones 2x2 por el método de sustitución

COMENTARIO PERSONAL: Este post esta dedicado para alguien a quien le quise ayudar con este tema, así que de allí salio mi inspiración <3

Acepto cualquier sugerencia, saludos amigos!

Criterios de Divisibilidad de los numeros primos del 10 al 100

Los Criterios de Divisibilidad de los Numeros Primos del 10 al 100

Aquí, les pondré como determinar si cierto numero o valor es múltiplo de dicho o determinado numero que queremos tratar.

Anteriormente hace al menos 2 años (En enero 2015), les comparti los criterios de divisibilidad del 2 al 10, Y tuvo por lo menos 10 mil vistas, Asi que como me inspire a hacer los criterios de divisibilidad de numeros mayores al 10, les quiero escribir para que puedan tratar con multiplos de numero de hasta el 100, Okey vamos a comenzar desde el 11 hasta el 97 (El 11 es el primer numero primo de la lista y el 97 es el ultimo de la misma).


Haz clic aquí en esta oración para ver los criterios de divisibilidad del 2 al 10

Criterio de Divisibilidad del 11

Hay que tener en cuenta cada uno de las cifras, Hay que considerar cuales están puestos en un lugar par, y cuales están puestos en un lugar impar, Dos cifras consecutivas no estarán en la misma categoría.

Por ejemplo, si tenemos 1518, Para determinar si es múltiplo de 11 hacemos lo siguiente.

Tendremos que ubicar cada cifra, cuales están en posición par e impar.

1518

Las cifras naranjas son los que estan en posición par.

Las cifras azules son los que estan en posición impar.

En este caso primero hay que considerar los que están en posición par y sumar cada uno de esas cifras, es decir: 5+8 = 13, la suma de los dígitos pares es igual a 13

Luego hacemos lo mismo con los dígitos pares, sumamos cada uno de ellos, entonces tenemos que: 1+1 = 2, la suma de las cifras impares es igual a 2.

En conclusión, tenemos que sacar la diferencia entre la suma de las cifras pares y las cifras impares, y si da cero o múltiplo de 11, el numero con el que estamos trabajando si es múltiplo de 11.

Entonces tenemos que: 13(suma de los pares) - 2(impares) = 11.

Entonces 1518 si es múltiplo de 11.

La ventaja de este criterio, es que solo lo tenemos que aplicar una sola vez :), Y es mas rápido el procedimiento y se puede hacer directamente ;)

Por ejemplo: 

4512546 => (4+1+5+6) - (5+2+4) = 16 - 11 = 5, no es múltiplo de 11

9358217 => (9+5+2+7) - (3+8+1) = 23 - 12 = 11, si es múltiplo de 11

Criterio de Divisibilidad del 13

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 13, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 9 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 13 el numero del que se trata si es múltiplo de 13, es decir:

Ejemplo: 754

754 ===> 75 - 4*9 = 75 - 36 = 39, Es múltiplo de 13

15236 ===> 1523 - 6*9 = 1523 - 54 = 1469, Es múltiplo de 13

NOTA: Cuando estemos tratando un criterio de divisibilidad de determinado numero y cuyo procedimiento se trate de sumar o restar la ultima cifra multiplicado por cierto numero, Cuando el numero que nos resulte todavía no se pueda saber directamente si es múltiplo de tal criterio o simplemente el numero es grande, volvemos a aplicar el criterio de divisibilidad pero al numero resultante que seria la nueva base para el calculo con el fin de terminar el calculo para la primera base del numero que realmente nos interesa.

El numero 1469, el número que nos resulto sera la nueva base para volver a aplicar el criterio.

Entonces: 1469 ===> 146 - 9*9 = 146 - 81 = 65

Nos resulto 65, El cual es múltiplo de 13.

Cuando el numero resultante al aplicar el criterio NO es múltiplo de 13, entonces el numero que se uso como base al calculo no es múltiplo de 13. (Te sigo recordando este punto en caso de que no resulte múltiplo de dicho criterio de divisibilidad).

Formula: (d - 9u)

Criterio de Divisibilidad del 17

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 17, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 5 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 17 el numero del que se trata si es múltiplo de 17, es decir:

Ejemplo: 714

714 ===> 71 - 4*5 = 71 - 20 = 51, Es múltiplo de 17

Ejemplo: 1343

1343 ===> 134 - 3*5 = 134 - 15 = 119, Es múltiplo de 17

119 ===> 11 - 9*5 = 11 - 45 = -34

Cuando el numero resultante sea negativo, y en caso de que el numero siga siendo grande hay que pasarlo a positivo y utilizarlo como base para la siguiente re-aplicación del criterio

Si el numero resultante da -123 (si el numero resulta negativo), Al volver a aplicar el criterio utilizar como nueva base "123" (Su valor absoluto)

Ejemplo: 534

534 ===> 53 - 4*5 = 53 - 20 = 33 (Gg, por uno >_<)

Por lo tanto, 534 NO es múltiplo de 17

Ejemplo: 36941

36941 ===> 3694 - 1*5 = 3694 - 5 = 3689

Volvemos a aplicar el criterio, usando como nueva o siguiente base el numero resultante a la ultima aplicación de dicho criterio.

3689 ===> 368 - 9*5 = 368 - 45 = 323

323 ===> 32 - 3*5 = 32 - 15 = 17, Es múltiplo de 17 (Es el mismo numero)

Si te da el mismo numero como en ese caso del procedimiento, es bastante obvio que se sabrá que si es múltiplo de tal criterio.

Cuando el numero resultante al aplicar el criterio NO es múltiplo de 17, entonces el numero que se uso como base al calculo no es múltiplo de 17. (Okey, una vez mas hay que tener en cuenta este punto, Si se entiende hasta aquí esta sera la última vez que lo recuerde).

Formula: (d - 5u)

Criterio de Divisibilidad del 19

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 19, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 2 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 19 el numero del que se trata si es múltiplo de 19, es decir:

Ejemplo: 

152 ===> 15 + 2*2 = 15 + 4 = 19, Es múltiplo de 19

3344 ===> 334 + 4*2 = 334 + 8 = 342

342 ===> 34 + 2*2 = 34 + 4 = 38, Es múltiplo de 19

Por lo tanto, 3344 si es múltiplo de 19

1858 ===> 185 + 8*2 = 185 + 16 = 201

201 ===> 20 + 1*2 = 20 + 2 = 22, NO es múltiplo de 19

Por lo tanto, 1858 NO es múltiplo de 19

58311 ===> 5831 + 1*2 = 5831 + 2 = 5833

5833 ===> 583 + 3*2 = 583 + 6 = 589

589 ===> 58 + 9*2 = 58 + 18 = 76, Es múltiplo de 19

Por lo tanto, 58311 si es múltiplo de 19

Formula: (d + 2u)

Criterio de Divisibilidad del 23

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 23, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 7 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 23 el numero del que se trata si es múltiplo de 23, es decir:

276 ===> 27 + 6*7 = 27 + 42 = 69, Es múltiplo de 23

1357 ===> 135 + 7*7 = 135 + 49 = 184

184 ===> 18 + 4*7 = 18 + 28 = 46, Es múltiplo de 23

19688 ===> 1968 + 8*7 = 1968 + 56 = 2024

2024 ===> 202 + 4*7 = 202 + 28 = 230

NOTA: Cuando el numero que resulte, sea múltiplo de 10 (Cuya ultima cifra sea 0), se dividira entre 10 ya que al hacer la suma o resta, la cifra sin unidades no sera afectada, En caso de que el numero resulte pequeño se puede dar por terminado el procedimiento del calculo del numero que se trata, de lo contrario si es grande el numero, continuar con el procedimiento reaplicando dicho criterio hasta terminar.

En el caso de haber aplicado el criterio de divisibilidad del 23, tomando como base el numero 2024, nos resulto 230, entonces se divide entre 10, y nos resulta 23, Es bastante obvio que en fin de cuentas, el numero del que se trata (19688), es múltiplo de 23, al igual que el número 2024.

721303 ===> 72130 + 3*7 = 72130 + 21 = 72151

72151 ===> 7215 + 1*7 = 7215 + 7 = 7222

7222 ===> 722 + 2*7 = 722 + 14 = 736

736 ===> 73 + 6*7 = 73 + 42 = 115, Es múltiplo de 23

Formula: (d + 7u)

Criterio de Divisibilidad del 29

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 29, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 3 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 29 el numero del que se trata si es múltiplo de 29, es decir:

812 ===> 81 + 2*3 = 81 + 6 = 87, Es múltiplo de 29.

5075 ===> 507 + 5*3 = 507 + 15 = 522

522 ===> 52 + 2*3 = 58, Es múltiplo de 29.

70151 ===> 7015 + 1*3 = 7015 + 3 = 7018

7018 ===> 701 + 8*3 = 701 + 24 = 725

725 ===> 72 + 5*3 = 72 + 15 = 87, Es múltiplo de 29.

NOTA: A partir del siguiente criterio de divisibilidad, al final de cada procedimiento de cierto numero, ya no señalare cuando sea múltiplo de dicho criterio, Cuando el número llege a ser pequeño o no sea 10 veces mas grande que el número del criterio(En este caso 29), Puedes saber directamente si es múltiplo de tal número, En este caso si llegas a saberte los primeros 10 múltiplos de determinado criterio, es probablemente que lleges a concluir que ya terminastes de aplicar el procedimiento completo, es cuestión de saber, Suerte ;)

Ejemplo: Los múltiplos de 29 son: 29, 58, 87, 116, 145, 174, 203, 232, 261, 290...

Recuerda que si trabajas con este criterio de divisibilidad y al aplicar el criterio llegues a ver de los primeros 10 múltiplos de dicho criterio, da por terminado este procedimiento :), Vale?

Formula: (d + 3u)

Criterio de Divisibilidad del 31

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 31, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 3 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 31 el numero del que se trata si es múltiplo de 31, es decir:

279 ===> 27 - 9*3 = 27 - 27 = 0

2511 ===> 251 - 1*3 = 251 - 3 = 248

248 ===> 24 - 8*3 = 24 - 24 = 0

144863 ===> 14486 - 3*3 = 14486 - 9 = 14477

14477 ===> 1447 - 7*3 = 1447 - 21 = 1426

1426 ===> 142 - 6*3 = 142 - 18 = 124

124 ===> 12 - 4*4 = 12 - 12 = 0

Los múltiplos de 31 son: 31, 62, 93, 124, 155, 186, 217, 248, 279, 310...

Sugerencia: Intenta memorizar los 10 primeros múltiplos

Formula: (d - 3u)

Criterio de Divisibilidad del 37

Este criterio es uno de los mas fáciles de aplicar, ademas es considerado uno de los mas especiales, a continuación sabrás porque:

En primera, los números que son de triple digito es decir (Tienen 3 cifras y cada cifra es la misma), Y los números que nos referimos son: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 y 999.

Esto se debe a que 37 * 3 = 111

Para empezar sabemos que los unicos dos números de dos cifras que son múltiplos de 37, nada mas estan el 37 y 74.

Por ejemplo es obveo que si un número ABC es múltiplo de 37, también lo sera los que obtengamos rotando sus cifras, es decir el BCA y CAB, Ejemplo: El 37 es el primer múltiplo del si mismo, entonces tenemos que 037, rotando sus cifras obtenemos los otros números como el 370 y 703 que también ambos números son múltiplos de 37.

Otra manera de comprobar si un número de tres cifras (ABC) es múltiplo de 37, es haciendo lo siguiente, le quitamos la cifra de las unidades, y lo que resulte le restamos la cifra que quitamos multiplicada por 11 (AB - C*11, AB=decenas C=unidades)

Por ejemplo para el 148, tenemos dicho númerp, le quitamos la cifra de unidades que vendria siendo el 8, entonces nos queda 14, le restamos dicha cifra de unidades multiplicada por 11, es decir:
14 - 8*11 = 14 - 88 = -74 ==> 74 (Como salio negativo, le quitamos el signo).

Este paso puede ser un poco demorado, entonces para hacerles un favor de omitir este paso, les dare todos los múltiplos de 37 de 3 cifras.

037, 074, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962, 999.
(Son 27 en total).

Para la determinación de números que sean de 4 o mas cifras, hacemos lo siguiente, tomamos por ejemplo este número de 9 cifras:

511259483

Si el número lo acomodamos en bloques de 3 cifras nos quedaria asi.

511 259 483 o 511,259,483

O simplemente lo que estamos haciendo estamos utilizando el separador de miles, esto comunmente se lleva en la vida cotidiana.

Entonces tenemos los 3 numeros los cuales son: 511, 259 y 483.
511 representa los millones.
259 representa los millares.
y 483 representa las unidades.

Entonces esos tres números los sumamos, osea:

511+259+483 = 1253

Si la suma de esos números nos da mayor a 1000, volvemos a aplicar hasta que nos salga un número de 3 cifras.

Entonces: 1+253 = 254.

Buscamos si el 254 esta en la lista de los múltiplos de 37.

037, 074, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962, 999.

El número 254 no aparece en la lista, por lo tanto el número 511259483 NO es múltiplo de 37.

NOTA: Recuerda que si te da triple cifras la suma, considera que el número del que estabas tratando si es múltiplo de 37.

Intentemos con otro número:

Tenemos el número 30185377

Lo separamos en grupos de 3. Y tenemos 30,185,377
Los tres números resultantes serian 30, 185 y 377

Sumando dichos números: 30+185+377 = La suma nos daría 592.
Este número 592 si aparece en esos números que estan marcado en negrita, por lo tanto 30185377 si es múltiplo de 37.

Si tenemos 2346114093, entonces usamos el mismo procedimiento
Separamos y obtenemos 2,346,114,093

NOTA: No importa cuantas cifras tenga un número el procedimiento sera igual, solo que mientras el número contenga mas cifras, mas números sumaras.

Entonces tenemos cuatro números resultantes al aplicar dicho paso, y esos cuatro números serian el 2, 346, 114 y 093,

Entonces sumamos todos los números: 2+346+114+93 = 555

Como el número tiene triples cifras, entonces es bastante obvio que el número con el que trabajamos es múltiplo de 37, osea el 2346114093.

Ejemplo: 15822643
Números obtenidos: 15, 822 y 643
Suma de los números: 1480

Cuando el número resulte mayor a 1000, volver a aplicar dicho paso tomando ahora como base el número resultante.

Números obtenidos de la resultante al aplicar: 1 y 480
Suma de los números: 481

481 aparece en la lista de los múltiplos de 37, por lo tanto:
El número 15822643 es múltiplo de 37.

Aquí les vuelvo a poner la lista de los múltiplos de 37:

037, 074, 111, 148, 185, 222, 259, 296, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 703, 740, 777, 814, 851, 888, 925, 962, 999.

Criterio de Divisibilidad del 41

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 41, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 4 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 41 el numero del que se trata si es múltiplo de 41, es decir:

615 ===> 61 - 5*4 = 61 - 20 = 41

1394 ===> 139 - 4*4 = 139 - 16 = 123

348992 ===> 34899 - 2*4 = 34899 - 8 = 34891

34891 ===> 3489 - 1*4 = 3489 - 4 = 3485

3485 ===> 348 - 5*4 = 348 - 20 = 328

328 ===> 32 - 8*4 = 32 - 32 = 0

Formula: (d - 4u)

Criterio de Divisibilidad del 43

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 43, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre lo multiplicamos por 3 y luego le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 4 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 43 el numero del que se trata si es múltiplo de 43, es decir:

344 ===> 34*3 - 4*4 = 102 - 16 = 86

1333 ===> 133*3 - 3*4 = 399 - 12 = 387

387 ===> 38*3 - 7*4 = 114 - 28 = 86

254216 ===> 25421*3 - 6*4 =76263 - 24 = 76239

76239 ===> 7623*3 - 9*4 = 22869 - 36 = 22833

22833 ===> 2283*3 - 3*4 = 6849 - 12 = 6837

6837 ===> 683*3 - 7*4 = 2049 - 28 = 2021

2021 ===> 202*3 - 1*4 = 606 - 4 = 602

602 ===> 60*3 - 2*4 = 180 - 8 = 172

172 ===> 17*3 - 2*4 = 51 - 8 = 43

NOTA1: Criterios donde se tenga que multiplicar las decenas, es mas tardado ya que para determinar si dicho número es múltiplo de determinado criterio, se debe aplicar mas veces de lo normal.

NOTA2: Se que 172 es múltiplo de 43, aun asi lo volvi a aplicar el criterio sobre el 172, y obtuve 43, Al tomar como base el número 43, obtendremos cero.

Formula: (3d - 4u)

Criterio de Divisibilidad del 47

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 47, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle las dos ultimas cifras (El de las unidades y decenas), y lo que sobre le sumamos el número por el que se forma con las mismas cifras que le quitamos multiplicada por 8 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 47 el numero del que se trata si es múltiplo de 47, es decir:

517 ===> 5 + 17*8 = 5 + 136 = 141

1786 ===> 17 + 86*8 = 17 + 688 = 705

705 ===> 7 + 5*8 = 7 + 40 = 47

57951 ===> 579 + 51*8 = 579 + 408 = 987

987 ===> 9 + 87*8 = 9 + 696 = 705

705 ===> 7 + 5*8 = 7 + 40 = 47

NOTA: No necesariamente para todos los criterios se tiene que tomar solo la cifra de las unidades, si no hay algunos como este que se trata de tomar las dos últimas cifras para llevar a cabo la aplicación de determinado criterio.

Formula: (c + 8u)

Criterio de Divisibilidad del 53

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 53, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle las dos ultimas cifras (El de las unidades y decenas), y lo que sobre le restamos el número por el que se forma con las mismas cifras que le quitamos multiplicada por 9 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 53 el numero del que se trata si es múltiplo de 53, es decir:

636 ===> 6 - 36*9 = 6 - 324 = -318

1484 ===> 14 - 84*9 = 14 - 756 = -742
742 ===> 7 - 42*9 = 7 - 378 = -372

245443 ===> 2454 - 43*9 = 2454 - 43*9 = 2454 - 387 = 2067
2067 ===> 20 - 67*9 = 20 - 603 = 583

4731151 ===> 47311 - 51*9 = 47311 - 459 = 46852
46852 ===> 468 - 52*9 = 468 - 468 = 0

Formula: (c - 9u)

Criterio de Divisibilidad del 59

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 59, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 6 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 59 el numero del que se trata si es múltiplo de 59, es decir:

531 ===> 53 + 1*6 = 53 + 6 = 59

2478 ===> 247 + 8*6 = 247 + 48 = 295

295 ===> 29 + 5*6 = 29 + 30 = 59

66257 ===> 6625 + 7*6 = 6625 + 42 = 6667

6667 ===> 666 + 7*6 = 666 + 42 = 708

708 ===> 70 + 8*6 = 70 + 48 = 118

118 ===> 11 + 8*6 = 11 + 48 = 59

Formula: (d + 6u)

Criterio de Divisibilidad del 61

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 61, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 6 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 61 el numero del que se trata si es múltiplo de 61, es decir:

366 ===> 36 - 6*6 = 36 - 36 = 0

1037 ===> 103 - 7*6 = 103 - 42 = 61

58072 ===> 5807 - 2*6 = 5807 - 12 = 5795

5795 ===> 579 - 5*6 = 579 - 30 = 549

549 ===> 54 - 9*6 = 54 - 54 = 0

Formula: (d - 6u)

Criterio de Divisibilidad del 67

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 67, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle las dos ultimas cifras (El de las unidades y decenas), y lo que sobre le restamos el número por el que se forma con las mismas cifras que le quitamos multiplicada por 2 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 67 el numero del que se trata si es múltiplo de 67, es decir:

737 ===> 7 - 37*2 = 7 - 74 = -67

5762 ===> 57 - 62*2 = 57 - 124 = -67

841855 ===> 8418 - 55*2 = 8418 - 110 = 8308

8308 ===> 83 - 8*2 = 83 - 16 = 67

9157694 ===> 91576 - 94*2 = 91576 - 188 = 91388

91388 ===> 913 - 88*2 = 913 - 176 = 737

737 ===> 7 - 37*2 = 7 - 74 = -67

Formula: (c - 2u)

Criterio de Divisibilidad del 71

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 71, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 7 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 71 el numero del que se trata si es múltiplo de 71, es decir:

355 ===> 35 - 5*7 = 35 - 35 = 0

1775 ===> 177 - 5*7 = 177 - 35 = 142

142 ===> 14 - 2*7 = 14 - 14 = 0

54173 ===> 5417 - 3*7 = 5417 - 21 = 5396

5396 ===> 539 - 6*7 = 539 - 42 = 497

497 ===> 49 - 7*7 = 49 - 49 = 0

Formula: (d - 7u)

Criterio de Divisibilidad del 73

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 73, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre lo multiplicamos por 3 y luego le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 7 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 73 el numero del que se trata si es múltiplo de 73, es decir:

365 ===> 36*3 - 5*7 = 108 - 35 = 73

5986 ===> 598*3 - 6*7 = 1794 - 42 = 1752

1752 ===> 175*3 - 2*7 = 525 - 14 = 511

511 ===> 51*3 - 1*7 = 153 - 7 = 146

146 ===> 14*3 - 6*7 = 42 - 42 = 0

37668 ===> 3766*3 - 8*7 = 11298 - 56 = 11242

11242 ===> 1124*3 - 2*7 = 3372 - 14 = 3358

3358 ===> 335*3 - 8*7 = 1005 - 56 = 949

949 ===> 94*3 - 9*7 = 282 - 63 = 219

219 ===> 21*3 - 9*7 = 63 - 63 = 0

Formula: (3d - 7u)

Criterio de Divisibilidad del 79

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 79, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 8 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 79 el numero del que se trata si es múltiplo de 79, es decir:

1185 ===> 118 + 5*8 = 118 + 40 = 158

158 ===> 15 + 8*8 = 15 + 64 = 79

5451 ===> 545 + 1*8 = 545 + 8 = 553

553 ===> 55 + 3*8 = 55 + 24 = 79

41396 ===> 4139 + 6*8 = 4139 + 48 = 4187

4187 ===> 418 + 7*8 = 418 + 56 = 474

474 ===> 47 + 4*8 = 47 + 32 = 79

Formula: (d + 8u)

Criterio de Divisibilidad del 83

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 83, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre lo multiplicamos por 3 y luego le restamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 8 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 83 el numero del que se trata si es múltiplo de 83, es decir:

1328 ===> 132*3 - 8*8 = 396 - 64 = 332

332 ===> 33*3 - 2*8 = 99 - 16 = 83

5644 ===> 564*3 - 4*8 = 1692 - 32 = 1660 ===> 166

166 ===> 16*3 - 6*8 = 48 - 48 = 0

37931 ===> 3793*3 - 1*8 = 11379 - 8 = 11371

11371 ===> 1137*3 - 1*8 = 3411 - 8 = 3403

3405 ===> 340*3 - 3*8 = 1020 - 24 = 996

996 ===> 99*3 - 6*8 = 297 - 48 = 249

249 ===> 24*3 - 9*8 = 72 - 72 = 0

Formula: (3d - 8u)

Criterio de Divisibilidad del 89

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 89, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle la cifra de las unidades y lo que sobre le sumamos la misma cifra que le quitamos multiplicada por 9 y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 89 el numero del que se trata si es múltiplo de 89, es decir:

445 ===> 44 + 5*9 = 44 + 45 = 89

1424 ===> 142 + 4*9 = 142 + 36 = 178

178 ===> 17 + 8*9 = 17 + 72 = 89

42987 ===> 4298 + 7*9 = 4298 + 63 = 4361

4361 ===> 436 + 1*9 = 436 + 9 = 445

445 ===> 44 + 5*9 = 44 + 45 = 89

Formula: (d + 9u)

Criterio de Divisibilidad del 97

Para este criterio, para determinar si dicho numero o valor es múltiplo de 97, Tenemos que agarrar del numero del que se trata, tenemos que quitarle las dos ultimas cifras (El de las unidades y decenas), y lo que sobre se multiplica por 3 y le sumamos el número por el que se forma con las mismas cifras que le quitamos y si el nuevo resultado da cero o múltiplo de 97 el numero del que se trata si es múltiplo de 97, es decir:

2619 ===> 26*3 + 19 = 78 + 19 = 97

67318 ===> 673*3 + 18 = 2019 + 18 = 2037

2037 ===> 20*3 + 37 = 60 + 37 = 97

4435422 ===> 44354*3 + 22 = 133062 + 22 = 133084

133084 ===> 1330*3 + 84 = 3990 + 84 = 4074

4074 ===> 40*3 + 74 = 120 + 74 = 194

194 ===> 1*3 + 94 = 3 + 94 = 97

Formula: (3c + u)

Criterios de divisibilidad alternativos 

Aquí vamos a hablar de otros criterios alternativos para determinado número primo, los siguientes procedimientos que van a aparecer allí son los que no se mencionaron durante toda la entrada.

El criterio mas sencillo para la divisibilidad del 7 es la siguiente:

SI (d - 2u) es múltiplo de 7, entonces si es múltiplo de 7.

Lo que esta en el parentesis representa como esta escrita la operación que se empleara para el procedimiento del criterio de divisibilidad de "x" número, y en caso de que el nuevo número resultante al aplicar dicho criterio sea igual a cero o a un múltiplo de "x", El número que estabamos tratando al principio, sera múltiplo de "x".

Hay que recordar que cuando hacemos el paso de quitar una sola cifra hay que recordar que:

La"u" es la cifra de las unidades la cual puede ser 0,1,2,3,4,5,6,7,8 o 9 según el caso.

La "d" representara el número de decenas completas que hay, simplemente es el número resultante despues de quitar la cifra a dicho número del que se trata.

Si en dicho criterio vamos a usar el número 128 como nuestra base para la aplicación del criterio, entonces ese número estaria comprimido por 12 decenas y 8 unidades, por lo tanto d = 12, u = 8.

Finalmente, la ecuación d - 2u, significa la operación que debemos aplicar en el procedimiento de dicho criterio de divisibilidad, Las unidades residuas se puede sumar o restar con las decenas, significa que hay que restarle a la decenas el doble de la cifra de unidades.

Cuando vean un termino como "2u" esta representa una múltiplicacion, un número multiplicado por 2.

También hemos hecho lo mismo al iniciar dicho criterio, pero la unica diferencia es que en vez de una sola cifra, del número que estamos tratando en tal criterio le estamos quitando las dos últimas cifras, la cual lo que quede seran las centenas completas y lo que sobra seran las unidades la cual ese número podra estar entre el 0 y 99 segun el caso.

Les recordaremos un ejemplo de esto, El criterio mas sencillo de la divisibilidad del 67 es la siguiente:

SI (c - 2u) es múltiplo de 67, entonces si es múltiplo de 67.

La "c" representa el número de centenas completas que tiene el número que estamos tratando, es el cociente resultante al dividir cierto número entre 100, Es el número resultante despues de quitarle al número que estamos tratando las dos últimas cifras.

La "u" claro, representa las cifras que se quitaron, Son las dos últimas cifras de dicho número del que estamos tratando en determinado caso, El valor de la variable puede ser un número que esta entre 0 y 99, Lo cual seria el residuo al dividir 100 el número que se trata.

Por ejemplo si tenemos el 1612 como base para el criterio, entonces: El número esta comprimido por 16 centenas y 12 unidades, por lo tanto: c = 16, u = 12.

Ya obtenidos los valores, se sustituyen en la ecuación que se indica, la que esta entre paréntesis, Y si el resultado resulta que es múltiplo de "x" criterio, entonces podremos comprobarlo.

Okey ahora si vamos con los criterios alternativos que existen para los criterios de divisibilidad que van del 11 al 97, bueno también pondremos el 3 y 7.

Los criterios alternativos de divisibilidad del 11 al 97.

3: (d + u), (d - 2u)

7: (d + 5u)

¿Sabias que? El criterio de divisibilidad del 3 se puede aplicar de la misma forma como se hace con la divisibilidad del 7?

NOTA: En esta sección no se incluye también las formulas que vimos de manera normal.

Vamos con los que estan entre el 11 y 97.

11: (d - u), (d + 10u)

13: (d + 4u), (c - 10u), (c + 3u)

17: (3d + 2u), (c - 9u), (c + 8u)

19: (c + 4u), (2d + 4u), (3d + 6u)

23: (c + 3u), (2d - 9u), (3d - 2u)

29: (c + 9u), (2d + 6u), (3d + 9u)

31: (c + 9u), (2d - 6u), (3d - 9u), (3c - 4u)

37: (c + 10u), (3d + 4u), (3c - 7u), (4d - 7u)

41: (2d - 8u), (2c - 9u), (3c + 7u)

43: (c - 3u), (2c - 6u)

47: (3d + 5u), (4d - 9u), (7d - 4u)

53: (3d - 5u)

59: (3c - 10u), (5c + 3u)

61: (5c - 3u)

67: (2c - 4u), (3d + 7u), (3c - 6u)

71: (3c + 5u)

73: (3c - 8u)

79: (5c + 4u)

83: (2c + 5u), (4c + 10u)

89: (c - 8u)

97: (3d + 10u)

"c" representa el total de centenas enteras.

"d" representa el total de decenas enteras.

"u", representa el residuo, cifra(s) que fuero(n) quitada(s) del número del que se trata de dicho criterio que vamos a aplicar

Si se trabajan con las variables "d" y "u", entonces "u" valdrá entre 0 y 9.

Si se trabajan con las variables "c" y "u", entonces "u" valdrá entre 0 y 99.

Conclusión

Dando fin a esta entrada, Tenemos en cuenta que con todos estos criterios de divisibilidad de números primos, esto nos ayuda a saber si cualquier número es múltiplo de cierto número primo :)

Muchas gracias por su atención ;)

Si hay algo mal o algo que no funciona con lo que acabo de decir en esta entrada, por favor díganmelo en los comentarios ;), Gracias :)

Las derivadas

Las derivadas

¿Que es una derivada?

En una función, Es un límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero.

s

La variable "a", viene siendo como la "x" de la funcion f(x), La "h" es el incremento que tiende a cero en base al limite como se explico.

La razón por la que se añade la "h" es para determinar el incremento diferencial que hay al derivar una operación u ecuación.

Las formulas de las derivadas

En esta sección vamos a poner las formulas y vamos a explicar cada una de ellas.

1. Derivada de una constante.

f(x) = k

f'(x) = 0

"k" seria una constante

En esta primera formula vemos claramente que al derivar una constante el resultado nos sale nulo, es como si la "k" fuera un numero, entonces no se generaría ninguna sola diferencia al tratar de llevar a cabo esto, por lo tanto la derivada de una constante es nula.

2. Derivada de "x"

f(x) = x

f'(x) = 1

Claramente estamos derivando "x", entonces como "x" consideramos el valor, en fin la función "f(x)" hace que estemos a función de la variable "x", por lo que nuestras ecuaciones para derivar dependerán de "x", Por lo tanto si quisieramos sustituir unos numeros consecutivos uno por uno, la diferencial seria 1, ya que no lleva coeficiente

En otro caso si la ecuación fuera asi

f(x) = 2x

La derivada seria 2, ya que esa es su diferencial de "x"

3. Derivada de una función lineal

f(x) = ax + b

f'(x) = a

Aqui tenemos otro caso, la función que tenemos se trata de un binomio, en el cual se incluye un termino lineal y el otro independiente, En este caso el lineal contiene una variable "x", y el otro termino independiente no lo trae, en conclusión la derivada de esa función terminaría siendo el equivalente a la variable "a" y mientras que el otro termino independiente queda eliminado por no contener la "x" ya que de ese termino no se genera diferencia.

Ejemplo:

f(x) = 5x + 3

f'(x) = 5

4. Derivada de una potencia

f(x) = u^n

f'(x) = n * u^(n-1)

Ejemplo:

f(x) = 2x^3

f'(x) = 3 * 2x^(3-1)

f'(x) = 6x^2

Cuando tengamos que derivar una función con potencia, hay que tomar en cuenta el termino que se esta elevando y el valor de la potencia, La derivada seria igual a multiplicar la función original es decir como ven en el ejemplo, Se multiplica esa misma función original sin derivar por la potencia en la que se eleva a la variable "u" y al final se le resta 1 a la potencia de la que se trate.

5. Derivada de una raíz cuadrada

√, es el símbolo de la raíz cuadrada.

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Cuando tenemos una raíz cuadrada, tenemos que convertirla a fracción la cual seria lo mismo: √u = u^(1/2), De acuerdo a las propiedades de las raices y potencias.

Entonces derivamos primero la "u" y la derivada lo que salga seria como un coeficiente para la respuesta final, Ya restandole 1 al exponente obtenemos como nuevo exponente -1/2, entonces nos quedaria asi la respuesta: u' * 1/2 * u^(-1/2)

Cuando tengamos un exponente negativo en el numerador, para pasarlo a positivo tendriamos que pasarlo al denominador, de acuerdo a las propiedades de exponentes y raices. Entonces tenemos en cuenta que es lo mismo x^(-2) que 1 / x^2

Asi nos quedaria: 1/2 * u' ÷ u^(1/2), y convirtiendo la fraccion a raiz: u' ÷ 2√u

El numero "2", aparece porque como vimos en la formula anterior, se multiplica por el exponente del que se trataba, en este caso se multiplico por la mitad, por lo tanto tendriamos una division entre 2 aplicada factorizadamente.

Esta formula se puede hacer con la Formula 4 que mencione arriba, solo hay que pasar los exponentes al numerador y convertir las raices a exponente fraccional.

En conclusion, el valor del exponente o potencia al aplicar esta quinta formula siempre sera 1/2, y siempre resultara una division entre 2.

Ejemplo:

f(x) = √(5x)

Teniendo esta formula 

f(x) = √u

f'(x) = u' ÷ (2√u)

Entonces tenemos en cuenta que "k" es el coeficiente (aunque no aparezca, en caso de que apareciera tendria que multiplicarse el resultado por el coeficiente).

La "u" es la expresion algebraica que esta dentro de la raiz y hay que derivar

En este caso la derivada de 5x seria 5

Por lo tanto quedaria asi

f'(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

f(x) = 5 ÷ [2√(5x)]

6. La derivada de una función con exponente fracciónal.

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

k = Coeficiente

u = Una expresión algebraica

a = El numerador del exponente

b = El denominador del exponente

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

NOTA: Las operaciones como las raices y potencias no se llegaran a entender muy bien ya que esto lo estoy escribiendo a base en texto, por lo tanto estoy poniendolas a partir de que los exponentes están en fracción.

Tomando en cuenta ese ejemplo de operacion:

Volvamos a poner la formula:

f(x) = ku^(a/b)

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f(x) = 4x^(5/3)

k = 4, u = x, a = 5, b = 3

Tenemos los valores y la función, A la respuesta le sustituimos dichos valores.

f'(x) = (a)(k)(u')*u^(a/b - 1) ÷ b

f'(x) = (5)(4)(1)*x^(5/3 - 1) ÷ 3

f'(x) = 20x^(2/3) ÷ 3

La respuesta es asi ya que tenemos en cuenta que lo que multiplicamos es la derivada de "u", luego el coeficiente, la variable de "u" permanecía pero se le restaba un entero a la fracción y el numerador del exponente se multiplicaba y como el exponente era una fracción, se dividia entre el denominador del exponente, Tenemos en cuenta que el exponente es un factor de multiplicación para obtener nuestra respuesta.

NOTA: Ya de alli no lo convertire a raiz ya que no tengo como escribirlo en fracción, pero ustedes mismos podrán hacerlo ;)

Si no se entendio este procedimiento, les sugiero que vean acerca de la "Regla de la Cadena".

7. La derivada de una suma o resta.

f(x) = u ± v

f'(x) = u' ± v'

Supongamos que las variables "u" y "v", son expresiones algebraicas, funciones o mas bien monomios, en este caso alli podemos aplicar lo que aprendimos con las primeras cuatro formulas, supongamos la siguiente funcion.

f(x) = 5x^3 + 4x^2

El primer monomio es 5x^3, y el segundo es 4x^2.

Tenemos que derivar cada uno de los monomios.

Ya derivados tenemos "15x^2" y "8x" respectivamente.

Entonces respectivamente dependiendo de donde correspondan dichos terminos, quedara asi la ecuación:

f(x) = 5x^3 + 4x^2

f'(x) = 15x^2 + 8x

8. Derivada de un producto.

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Tenemos la siguiente función a resolver:

f(x) = (7x^5)(6x^4)

u = 7x^5, v = 6x^4

Derivamos dichas funciones, por lo tanto obtendremos:
u' = 35x^4, v' = 24x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir la respuesta

f(x) = u * v

f'(x) = u' * v + u * v'

Entonces, sustituimos lo que esta subrayado arriba.
Tenemos los datos:
u = 7x^5, u' = 35x^4
v = 6x^4, v' = 24x^3

Sustituyendo dicha formula subrayada tenemos lo siguiente:
f'(x) = u' * v + u * v'
f'(x) = (35x^4)*(6x^4) + (7x^5)*(24x^3)
f'(x) = (210x^8) + (168x^8)
f'(x) = 378x^8

Para resolver mediante esta formula que nos sirve para derivar un producto, tenemos dos terminos en dicha función, tenemos que derivar ambos terminos, entonces la respuesta seria equivalente al producto de la derivada de "u" y la función "v" mas el producto de la derivada de "v" y la función "u".

9. Derivada de un cociente

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Tenemos la siguiente función a resolver:

(8x^7) / (3x^4)

Tenemos que:

u = 8x^7, v = 3x^4

Sustituimos dichos terminos o funciones.

Nos quedaria:

u' = 56x^6. v' = 12x^3

Tenemos los datos suficientes para sustituir dicha respuesta:

f(x) = u / v

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

Sustituimos lo que tenemos arriba, tenemos los sig. datos:

u = 8x^7, u' = 56x^6

v = 3x^4, v' = 12x^3

Recordemos que tenemos que hacer una división donde elevamos la función "v" al cuadrado, por lo tanto: v^2 = (3x^4)^2 = 9x^8

Sustituyendo dicha formula que deba resultar tenemos que:

f'(x) = (u' * v - u * v') / v^2

f'(x) = [(56x^6)*(3x^4) - (8x^7)*(12x^3)] / 9x^8

f'(x) = [168x^10 - 96x^10] / 9x^8

f'(x) = (72x^10) / 9x^8

f'(x) = 8x^2

10. Derivada de una constante partida por una función

f(x) = k / u

f'(x) = -k * u' / u^2

Por ultimo tenemos esta formula en el cual se trata de una función donde tiene que ver con inversas o reciprocas, La variable "u" cuyo exponente o potencia sera igual a -1, y como resultado al derivar terminara con una potencia de -2, luego se multiplicara por el dicho exponente osea por -1, y por la derivada de "u", tal como se ve en la formula, mientras que la "k" es un factor o un coeficiente, Vamos a aplicarla:

u = x, u' = 1

f(x) = 12 / x

f'(x) = -12 * 1 / x^2

f'(x) = -12 / x^2

Podemos considerar que f(x) = 12 / x, es igualito a f(x) = 12x^(-1), haciendo lo de la formula 4, podemos llegar a la misma respuesta.

Es decir se multiplica dicha función por el exponente y se le resta 1 al exponente del que se trate.

Entonces: (-1)*12x^(-1-1) = -12x^(-2) = -12 / x^2

Conclusion de las derivadas

Todavía quedan mas formulas de derivadas por poner por mientras puse las formulas de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias, raices...

Hay mas formulas que son logaritmicas, exponenciales y trigonómetricas.

Muy pronto hare otra entrada como esta pero continuando con las formulas.

Estense atentos :), Muchas gracias por su atención.